墨卡托投影：属性、用途与局限

1569 年为航海而作的保角圆柱投影：等角航线在图上是直线，代价是面积按 sec²(纬度) 膨胀，84°N 处已达 91.5 倍。

说明

1569 年，Gerardus Mercator 发表《Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio》。它解决的是一个具体的航海问题：让恒定罗盘方向的航线（等角航线，loxodrome）在图上画成直线，水手可以拿直尺量出航向。

为了做到这一点它必须保角，即地图上任意一点附近的角度关系与地面一致。纬线间距按 sec(纬度) 向两极加速拉开，正是为了抵消经线被强行拉平后产生的横向拉伸。这不是缺陷，是让直线航向成立的那一步。

经线是等间距的竖直线，纬线是水平线，相邻两条纬线的间距按 sec(纬度) 向两极迅速拉开。经纬网处处正交——这是保角的直接后果，不是画法上的巧合。

保角：本站在 0°、30°、45°、60°、72°、84° 上测得的形状失真全部是 1.00，一个例外也没有。打开失真椭圆网格，每一个椭圆都是正圆。

面积按 sec²(纬度) 膨胀：30° 处 1.33 倍，45° 处正好 2 倍，60° 处正好 4 倍，72° 处 10.5 倍，84° 处 91.5 倍，到 85.05° 已是 134 倍。

沿赤道的距离是准确的。离开赤道后横向和纵向按同一个 sec(纬度) 一起放大——这是「保角」的另一种说法，也是面积指数正好是长度指数平方的原因。

本页所有数字由本站运行的投影现算，不是抄来的。
纬度	0°	30°	45°	60°	72°	84°
面积失真	1.00	1.33	2.00	4.00	10.5	91.5
形状失真	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00

两栏都以这一种投影自身赤道处的实测尺度为 1。它们只能和同一张表里的数字比较，不能拿去和另一种投影的读数并排——每种投影的基准是它自己。

海图。等角航线画成直线这一条至今没有别的投影能替代，国际海图仍以墨卡托为主。

赤道附近的大比例尺制图：印度尼西亚、赤道非洲一带，在小范围内它的面积误差可以忽略。

网络地图。Web 墨卡托（EPSG:3857）是几乎所有在线地图的默认坐标系——保角意味着在任意缩放级别下建筑物和道路的形状都不歪。

极点画不出来：sec² 在 90° 发散。网络地图统一截在 85.051129°（约 85°03′04″），本站量到这条纬线上的面积失真是 134 倍。

在这条截断纬线上，墨卡托的世界正好是一个正方形，本站量出来的宽高比是 1.000。工具里画的是北纬 85.1° 到南纬 70.0° 的一段，因为目录里没有对象到得了南纬 56° 以南。

面积完全不能用。格陵兰在图上看起来比非洲大，真实面积只有非洲的十四分之一。任何按国土面积着色的专题图都不该用这张底图。

本站的构造（w、h 为画布尺寸，sphere 为整球）：

geoMercator().scale(w / 2π).translate([w / 2, scale * mercatorY(85.051129)])

Web 墨卡托值得单独说一句：它把球面墨卡托公式直接套在 WGS 84 的大地坐标上，球半径取 6378137.0 米。这样做的后果是它其实不再严格保角，离开赤道后距离和方向都有偏差——但因为所有主流地图服务都这么做，它成了事实标准。

本站画的是球面墨卡托，不是 Web 墨卡托的椭球近似。在本站的精度目标下两者的差别看不出来；在测绘和法定用途上不能混用。